تسمى المعادلة بالمساواة الرياضية الموجودة بين تعبيرين ، وتتكون من عناصر مختلفة معروفة (بيانات) وغير معروفة (مجهولة) ، والتي ترتبط من خلال عمليات عددية رياضية. يتم تمثيل البيانات عمومًا بالمعاملات والمتغيرات والأرقام والثوابت ، بينما يُشار إلى المجهول بالأحرف وتمثل القيمة التي تريد فك تشفيرها من خلال المعادلة. تُستخدم المعادلات على نطاق واسع ، بشكل أساسي لإظهار أكثر أشكال القوانين الرياضية أو الفيزيائية دقة ، والتي تعبر عن المتغيرات.
ما هي المعادلة
جدول المحتويات
يأتي المصطلح من اللاتينية "aequatio" ، والتي يشير معناها إلى المساواة. هذا التمرين هو مساواة رياضية موجودة بين تعبيرين ، يُعرفان بالأعضاء ولكنهما مفصولتان بعلامة (=) ، وفي هذه العناصر ، توجد عناصر معروفة وبعض البيانات أو المجهول التي ترتبط من خلال العمليات الحسابية. القيم هي أرقام أو ثوابت أو معاملات ، على الرغم من أنها يمكن أن تكون أيضًا كائنات مثل المتجهات أو المتغيرات.
يتم إنشاء العناصر أو المجهول من خلال معادلات أخرى ، ولكن مع إجراء حل المعادلة. تتم دراسة نظام المعادلات وحلها بطرق مختلفة ، في الواقع ، يحدث الشيء نفسه مع معادلة المحيط.
تاريخ المعادلات
كانت الحضارة المصرية من أوائل من استخدموا البيانات الرياضية ، لأنهم بحلول القرن السادس عشر قاموا بالفعل بتطبيق هذا النظام ، لحل المشكلات المرتبطة بتوزيع الغذاء ، على الرغم من أنها لم تسمى معادلات ، يمكن القول إنها تعادل الوقت الحالي.
كان لدى الصينيين أيضًا معرفة بمثل هذه الحلول الرياضية ، لأنهم في بداية العصر ألفوا كتابًا تم فيه اقتراح طرق مختلفة لحل تمارين الصف الثاني والأول.
خلال العصور الوسطى ، كان للمجهول الرياضي دفعة كبيرة ، حيث تم استخدامها كتحديات عامة بين علماء الرياضيات الخبراء في ذلك الوقت. في القرن السادس عشر ، اكتشف عالمان رياضيان مهمان استخدام الأرقام التخيلية لحل بيانات الدرجة الثانية والثالثة والرابعة.
في ذلك القرن أيضًا ، اشتهر رينيه ديكارت بالتدوين العلمي ، بالإضافة إلى ذلك ، في هذه المرحلة التاريخية ، تم نشر واحدة من أكثر نظريات الرياضيات شيوعًا "نظرية فيرما الأخيرة".
خلال القرن السابع عشر ، أتاح العالمان جوتفريد لايبنيز وإسحاق نيوتن حل المجهول التفاضلي ، مما أدى إلى سلسلة من الاكتشافات التي حدثت خلال تلك الفترة فيما يتعلق بتلك المعادلات المحددة.
كانت العديد من الجهود التي بذلها علماء الرياضيات حتى بداية القرن التاسع عشر لإيجاد حل لمعادلات الدرجة الخامسة ، لكن جميعها كانت محاولات فاشلة ، حتى اكتشف نيلز هنريك أبيل أنه لا توجد صيغة عامة لحساب الدرجة الخامسة ، وكذلك خلال هذا الوقت ، استخدمت الفيزياء البيانات التفاضلية في مجاهيل متكاملة ومشتقة ، مما أدى إلى ظهور الفيزياء الرياضية.
في القرن العشرين ، تمت صياغة المعادلات التفاضلية الأولى ذات الوظائف المعقدة المستخدمة في ميكانيكا الكم ، والتي لها مجال واسع من الدراسة في النظرية الاقتصادية.
يجب الإشارة أيضًا إلى معادلة ديراك ، وهي جزء من دراسات الموجات النسبية في ميكانيكا الكم والتي صاغها بول ديراك في عام 1928. تتوافق معادلة ديراك تمامًا مع نظرية النسبية الخاصة.
خصائص المعادلة
تحتوي هذه التمارين أيضًا على سلسلة من الخصائص أو العناصر المحددة ، من بينها الأعضاء والمصطلحات والمجهول والحلول. الأعضاء هم تلك التعبيرات الموجودة بجوار علامات التساوي. المصطلحات هي تلك الإضافات التي هي جزء من الأعضاء ، وبالمثل ، فإن المجهول يشير إلى الحروف وأخيراً ، الحلول التي تشير إلى القيم التي تؤكد المساواة.
أنواع المعادلات
هناك أنواع مختلفة من التمارين الرياضية التي تم تدريسها في مستويات مختلفة من التعليم ، على سبيل المثال ، معادلة الخط أو المعادلة الكيميائية أو موازنة المعادلات أو أنظمة المعادلات المختلفة ، ومع ذلك ، من المهم الإشارة إلى أنها مصنفة إلى البيانات الجبرية ، والتي بدورها يمكن أن تكون من الدرجة الأولى والثانية والثالثة ، ديوفانتاين ومنطقية.
المعادلات الجبرية
إنه تقييم يتم التعبير عنه في شكل P (x) = 0 حيث يكون P (x) متعدد الحدود ليس فارغًا ولكنه ليس ثابتًا وله معاملات عدد صحيح بدرجة n ≥ 2.
- الخطي: هو مساواة لها متغير واحد أو أكثر في القوة الأولى ولا تحتاج إلى منتجات بين هذه المتغيرات.
- تربيعي: له تعبير عن ax² + bx + c = 0 مع a ≠ 0. هنا المتغير x و ya و b و c ثوابت ، والمعامل التربيعي هو a ، وهو يختلف عن 0. المعامل الخطي هو b والمصطلح مستقل هو ج.
يتميز بكونه متعدد الحدود يتم تفسيره من خلال معادلة القطع المكافئ.
- التكعيبية: تنعكس البيانات التكعيبية التي تحتوي على مجهول في الدرجة الثالثة مع a و b و c و d (a 0) ، والتي تمثل أرقامها جزءًا من مجموعة أرقام حقيقية أو معقدة ، ومع ذلك ، فإنها تشير أيضًا إلى أرقام منطقية.
- Biquadratic: هو متغير واحد ، تعبير جبري من الدرجة الرابعة له ثلاثة مصطلحات فقط: واحد من الدرجة 4 ، وواحد من الدرجة 2 ، ومصطلح مستقل. مثال على تمرين biquad هو ما يلي: 3x ^ 4 - 5x ^ 2 + 1 = 0.
يتلقى هذا الاسم لأنه يحاول التعبير عما سيكون المفهوم الرئيسي لتحديد استراتيجية الحل: يعني المربع الثنائي: "التربيعية مرتين. إذا فكرت في الأمر ، يمكن التعبير عن المصطلح x4 بالصيغة (x 2) مرفوعًا إلى 2 ، وهو ما يعطينا x4. بمعنى آخر ، تخيل أن الحد الرئيسي للمجهول هو 3 × 4. وبالمثل ، من الصحيح أن نقول إن هذا المصطلح يمكن كتابته أيضًا على الشكل 3 (x2) 2.
- الديوبانثين: هو تمرين جبري يحتوي على مجهولين أو أكثر ، بالإضافة إلى أن معاملاته تشمل جميع الأعداد الصحيحة التي يجب البحث عن الحلول الطبيعية أو الصحيحة منها. هذا يجعلهم جزءًا من مجموعة الأرقام بأكملها.
يتم تقديم هذه التمارين على أنها ax + by = c مع خاصية الشرط الكافي والضروري بحيث يكون للفأس + by = c مع a ، b ، c التي تنتمي إلى الأعداد الصحيحة حل.
- عقلاني: يتم تعريفهم على أنهم حاصل قسمة كثيرات الحدود ، نفس تلك التي يكون فيها المقام درجة واحدة على الأقل. بالحديث على وجه التحديد ، يجب أن يكون هناك متغير واحد في المقام. الشكل العام الذي يمثل دالة عقلانية هو:
حيث p (x) و q (x) هي كثيرة الحدود و q (x) ≠ 0.
- المعادلات: هو تمرين ذو مساواة رياضية بين تعبيرين رياضيين ، يسميان أعضاء ، تظهر فيهما عناصر أو بيانات معروفة ، وعناصر غير معروفة أو مجهولة ، مرتبطة بعمليات حسابية. و القيم من المعادلة يجب أن تتكون من أرقام ، معاملات، أو الثوابت. مثل المتغيرات أو الكائنات المعقدة مثل المتجهات أو الوظائف ، يجب أن تتكون العناصر الجديدة من خلال معادلات أخرى للنظام أو بعض الإجراءات الأخرى لحل الوظائف.
المعادلات المتسامية
إنها ليست أكثر من مساواة بين تعبيرين رياضيين لهما واحد أو أكثر من المجهول المرتبطين من خلال العمليات الحسابية ، والتي هي جبرية حصراً ولها حل لا يمكن إعطاؤه باستخدام أدوات الجبر المحددة أو المناسبة. التمرين H (x) = j (x) يسمى متعالي عندما تكون إحدى الوظائف H (x) أو j (x) غير جبرية.
المعادلات التفاضلية
في نفوسهم ، ترتبط الوظائف بكل من مشتقاتها. تميل الوظائف إلى تمثيل كميات مادية معينة ، من ناحية أخرى ، تمثل المشتقات معدلات التغيير ، بينما تحدد المعادلة العلاقة بينهما. هذه الأخيرة مهمة للغاية في العديد من التخصصات الأخرى ، بما في ذلك الكيمياء وعلم الأحياء والفيزياء والهندسة والاقتصاد.
معادلات متكاملة
يظهر المجهول في وظائف هذه البيانات مباشرة في الجزء المتكامل. تمرينات التكامل والتفاضل لها الكثير من العلاقات ، حتى أن بعض المسائل الرياضية يمكن صياغتها بأي من هذين الأمرين ، مثال على ذلك هو نموذج ماكسويل اللزوجة المرنة.
المعادلات الوظيفية
يتم التعبير عنها من خلال مجموعة من الوظائف غير المعروفة والمتغيرات المستقلة ، بالإضافة إلى ذلك ، يجب حل كل من قيمتها وتعبيرها.
معادلات الدولة
هذه تمارين تأسيسية للأنظمة الهيدروستاتيكية التي تصف الحالة العامة للتجمع أو زيادة المادة ، بالإضافة إلى أنها تمثل علاقة بين الحجم ودرجة الحرارة والكثافة والضغط ووظائف الحالة والطاقة الداخلية المرتبطة بالمادة..
معادلات الحركة
هذا البيان الرياضي هو الذي يشرح التطور الزمني لمتغير أو مجموعة من المتغيرات التي تحدد الحالة المادية للنظام ، مع أبعاد مادية أخرى تعزز تغيير النظام. تحدد هذه المعادلة في ديناميات النقطة المادية الموقع المستقبلي للكائن بناءً على متغيرات أخرى ، مثل كتلته أو سرعته أو أي شيء آخر قد يؤثر على حركته.
كان المثال الأول لمعادلة الحركة في الفيزياء هو استخدام قانون نيوتن الثاني للأنظمة الفيزيائية المكونة من جسيمات ومواد نقطية.
المعادلات التأسيسية
إنها ليست أكثر من علاقة بين المتغيرات الميكانيكية أو الديناميكية الحرارية الموجودة في نظام مادي ، أي حيث يوجد توتر ، ضغط ، تشوه ، حجم ، درجة حرارة ، إنتروبيا ، كثافة ، إلخ. جميع المواد لها علاقة رياضية تأسيسية محددة للغاية ، والتي تعتمد على التنظيم الجزيئي الداخلي.
حل المعادلة
لحل المعادلات ، من الضروري تمامًا إيجاد مجال الحل الخاص بهم ، أي مجموعة أو مجموعة قيم المجهول التي تتحقق فيها مساواتهم. يمكن استخدام آلة حاسبة المعادلات لأن هذه المشكلات يتم التعبير عنها عادةً في تمرين واحد أو أكثر.
من المهم أيضًا الإشارة إلى أنه لا يوجد حل لجميع هذه التمارين ، لأنه من المحتمل تمامًا أنه لا توجد قيمة في المجهول تؤكد المساواة التي تم الحصول عليها. في هذا النوع من الحالات ، تكون حلول التمارين فارغة ويتم التعبير عنها على أنها معادلة غير قابلة للحل.
أمثلة على المعادلات
- الحركة: ما السرعة التي يجب أن تقطعها سيارة السباق لتقطع مسافة 50 كم في ربع ساعة؟ نظرًا لأن المسافة يتم التعبير عنها بالكيلومترات ، يجب كتابة الوقت بوحدات ساعات للحصول على السرعة بالكيلومتر / الساعة. بعد أن يكون واضحًا ، فإن الوقت الذي تستغرقه الحركة هو:
و بعد يسافر السيارة هي:
هذا يعني أن سرعته يجب أن تكون:
الصيغة هي:
لذلك ، يجب أن نترك "n" ، ونحصل على:
ثم يتم استبدال البيانات:
وكمية عدد الشامات 13.64 مول.
الآن يجب حساب الكتلة. نظرًا لأنه غاز الهيدروجين ، يجب الإشارة إلى وزنه الذري أو كتلته المولية ، وهو جزيء ثنائي الذرة ، يتكون من ذرتين هيدروجين.
في الوزن الجزيئي هو 2 غرام / مول (بسبب طابعه ثنائية الذرة)، ثم يتم الحصول عليها:
أي أنه تم الحصول على كتلة قدرها 27.28 جرامًا.
- التأسيسية: هناك 3 أشرطة متصلة بحزمة صلبة. البيانات هي: P = 15000 رطل ، أ = 5 أقدام ، ب = 5 أقدام ، ج = 8 أقدام (1 قدم = 12 بوصة).
الحل هو أنه من المفترض أن هناك تشوهات صغيرة وأن المسمار صلب تمامًا ، ولهذا السبب عند تطبيق القوة P ، فإن الحزمة AB تدور بشكل صارم وفقًا للنقطة B.
