و الجبر هو فرع من الرياضيات التي استخدامات الأرقام والأحرف وعلامات للإشارة إلى مختلف العمليات الحسابية التي يؤدونها. يستخدم الجبر اليوم كمورد رياضي في العلاقات والهياكل والكمية. الجبر الابتدائي هو الأكثر شيوعًا لأنه يستخدم العمليات الحسابية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة لأنه ، على عكس الحساب ، يستخدم رموزًا مثل xy الأكثر شيوعًا بدلاً من استخدام الأرقام.
ما هو الجبر
جدول المحتويات
إنه الفرع الذي ينتمي إلى الرياضيات ، والذي يسمح بتطوير وحل المشكلات الحسابية من خلال الحروف والرموز والأرقام ، والتي بدورها ترمز إلى الأشياء أو الموضوعات أو مجموعات العناصر. هذا يسمح بصياغة العمليات التي تحتوي على أرقام غير معروفة ، تسمى مجهولة مما يجعل تطوير المعادلات ممكنًا.
من خلال الجبر ، كان الإنسان قادرًا على العد بطريقة مجردة وعامة ، ولكنه أيضًا أكثر تقدمًا ، من خلال حسابات أكثر تعقيدًا ، طورها مثقفون رياضيون وجسديون مثل السير إسحاق نيوتن (1643-1727) وليونهارد أويلر (1707- 1783) ، بيير دي فيرمات (1607-1665) أو كارل فريدريش جاوس (1777-1855) ، بفضل مساهماتهم لدينا تعريف الجبر كما هو معروف اليوم.
ومع ذلك ، وفقًا لتاريخ الجبر ، فإن Diophantus of Alexandria (تاريخ الميلاد والموت غير معروفين ، يعتقد أنه عاش بين القرنين الثالث والرابع) ، كان في الواقع والد هذا الفرع ، حيث نشر عملاً يسمى Arithmetica ، والذي كان يتألف من ثلاثة عشر كتابًا قدم فيه مشاكل مع المعادلات التي ، على الرغم من أنها لا تتوافق مع الطابع النظري ، كانت مناسبة للحلول العامة. ساعد هذا في تحديد ماهية الجبر ، ومن بين العديد من المساهمات التي قدمها ، كان تنفيذ الرموز العالمية لتمثيل المجهول ضمن متغيرات المشكلة المراد حلها.
أصل كلمة "الجبر" من اللغة العربية وتعني "استعادة" أو "الاعتراف". بالطريقة نفسها ، لها معناها في اللاتينية ، والذي يتوافق مع "الاختزال" ، وعلى الرغم من أنهما ليسا مصطلحات متطابقة ، إلا أنهما يعنيان نفس الشيء.
كأداة إضافية لدراسة هذا الفرع ، يمكنك الحصول على الآلة الحاسبة الجبرية ، وهي حاسبات يمكنها رسم وظائف جبرية. السماح بهذه الطريقة بدمج التعبيرات ووظائف الرسم البياني واشتقاقها وتبسيطها ، وإنشاء مصفوفات ، وحل المعادلات ، من بين وظائف أخرى ، على الرغم من أن هذه الأداة أكثر ملاءمة لمستوى أعلى
داخل الجبر هو مصطلح جبري ، وهو نتاج عامل رقمي لمتغير حرف واحد على الأقل ؛ حيث يمكن التمييز بين كل مصطلح من خلال معامله العددي ومتغيراته ممثلة بالأحرف ودرجة المصطلح عن طريق إضافة الأسس للعناصر الحرفية. هذا يعني أنه بالنسبة للمصطلح الجبري p5qr2 ، سيكون المعامل 1 ، والجزء الحرفي سيكون p5qr2 ، ودرجته ستكون 5 + 1 + 2 = 8.
ما هو التعبير الجبري
إنه تعبير يتكون من ثوابت عدد صحيح ومتغيرات وعمليات جبرية. يتكون التعبير الجبري من علامات أو رموز ويتكون من عناصر محددة أخرى.
في الجبر الابتدائي ، وكذلك في الحساب ، العمليات الجبرية المستخدمة في حل المسائل هي: الجمع أو الجمع ، الطرح أو الطرح ، الضرب ، القسمة ، التمكين (ضرب عامل متعدد مرات) والإشعاع (عملية عكسية للتقوية).
العلامات المستخدمة في هذه العمليات هي نفسها المستخدمة في الحساب للجمع (+) والطرح (-) ، ولكن بالنسبة للضرب ، يتم استبدال X (x) بنقطة (.) أو يمكن تمثيلها بعلامات التجميع (مثال: cd و (c) (d) تساويان العنصر "c" مضروبًا في العنصر "d" أو cxd) وفي القسمة الجبرية يتم استخدام نقطتين (:).
تُستخدم علامات التجميع أيضًا ، مثل الأقواس () والأقواس المربعة والأقواس {} والمخططات الأفقية. تُستخدم علامات العلاقة أيضًا ، وهي تلك المستخدمة للإشارة إلى وجود ارتباط بين بياناتين ، ومن بين أكثر البيانات استخدامًا تساوي (=) ، أكبر من (>) وأقل من (<).
كما أنها تتميز باستخدام الأعداد الحقيقية (المنطقية ، والتي تشمل موجبة وسالبة وصفر ؛ وغير عقلانية ، وهي تلك التي لا يمكن تمثيلها ككسور) أو معقدة ، وهي جزء من الحقيقية ، وتشكل حقلاً مغلقًا جبريًا.
هذه هي التعبيرات الجبرية الرئيسية
هناك عبارات تشكل جزءًا من مفهوم الجبر ، وتصنف هذه التعبيرات إلى نوعين: monomials ، وهي تلك التي لها مضافة واحدة ؛ و متعددو الحدود ، الذي فقد اثنين (binomials)، وثلاثة (trinomials) أو أكثر addends.
بعض الأمثلة على المونوميل ستكون: 3x ، π
في حين أن بعض كثيرات الحدود يمكن أن تكون: 4 × 2 + 2x (ذات الحدين) ؛ 7ab + 3a3 (ثلاثي الحدود)
من المهم الإشارة إلى أنه إذا كان المتغير (في هذه الحالة "x") في المقام أو داخل جذر ، فلن تكون التعبيرات أحادية أو متعددة الحدود.
ما هو الجبر الخطي
هذا المجال من الرياضيات والجبر هو المجال الذي يدرس مفاهيم المتجهات والمصفوفات وأنظمة المعادلات الخطية والمسافات المتجهة والتحويلات الخطية والمصفوفات. كما يتضح ، للجبر الخطي تطبيقات مختلفة.
تختلف فائدتها من دراسة مساحة الوظائف ، وهي تلك التي تم تحديدها بواسطة مجموعة X (أفقيًا) إلى مجموعة Y (رأسية) ويتم تطبيقها على المساحات المتجهية أو الطوبولوجية ؛ المعادلات التفاضلية ، التي تربط دالة (قيمة تعتمد على القيمة الثانية) بمشتقاتها (معدل التغير اللحظي الذي يجعل قيمة دالة معينة تختلف) ؛ بحوث العمليات ، والتي تطبق أساليب تحليلية متقدمة لاتخاذ قرارات سليمة ؛ إلى الهندسة.
تم العثور على أحد المحاور الرئيسية لدراسة الجبر الخطي في الفراغات المتجهة ، والتي تتكون من مجموعة من المتجهات (أجزاء من خط) ومجموعة من المقاييس (أرقام حقيقية أو ثابتة أو معقدة ، والتي لها حجم ولكن ليس اتجاه ناقلات مميزة).
المساحات الرئيسية المحدودة الأبعاد هي ثلاثة:
- في ناقلات في آكانيوز ، التي تمثل الإحداثيات الديكارتية (أفقيا X محور ومحور Y العمودي).
- و المصفوفات ، والتي هي تعبيرات أنظمة مستطيلة (ممثلة أرقام أو رموز)، وتتميز بعدد من الصفوف (ممثلة عادة حرف "م") وعدد من الأعمدة (الرمز بواسطة حرف "ن")، و يتم استخدامها في العلوم والهندسة.
- في الفضاء متجه متعددو الحدود في نفس المتغير، التي قدمها متعددو الحدود التي لا تتجاوز درجة 2، لديها معاملات حقيقية وتوجد على المتغير "س".
التوابع الجبرية
يشير إلى دالة تتوافق مع تعبير جبري ، بينما تفي أيضًا بمعادلة متعددة الحدود (يمكن أن تكون معاملاتها أحادية أو متعددة الحدود). وهي تصنف على أنها: قيمة عقلانية وغير منطقية ومطلقة
- الدوال المنطقية الصحيحة هي تلك التي يتم التعبير عنها في: ، حيث يمثل "P" و "Q" اثنين من كثيرات الحدود و "x" المتغير ، حيث يختلف "Q" عن كثير الحدود الفارغ ، والمتغير "x" لا يلغي المقام.
- الدوال اللاعقلانية ، حيث يمثل التعبير f (x) جذريًا ، مثل هذا:. إذا كانت قيمة "n" زوجية ، فسيتم تعريف الجذر بحيث تكون g (x) أكبر من 0 وتساويها ، ويجب أيضًا الإشارة إلى علامة النتيجة ، لأنه بدونها ، لن يكون من الممكن التحدث عن وظيفة ، حيث لكل قيمة "x" ستكون هناك نتيجتان ؛ بينما إذا كان مؤشر الراديكالية فرديًا ، فإن الأخير ليس ضروريًا ، لأن النتيجة ستكون فريدة.
- وظائف القيمة المطلقة ، حيث ستكون القيمة المطلقة للرقم الحقيقي هي قيمته العددية مع ترك علامته جانبًا. على سبيل المثال ، 5 ستكون القيمة المطلقة لكل من 5 و -5.
هناك دوال جبرية صريحة ، حيث سيكون المتغير "y" نتيجة الجمع بين المتغير "x" لعدد محدود من المرات ، باستخدام العمليات الجبرية (على سبيل المثال ، الجمع الجبري) ، والتي تشمل الارتفاع على الفاعلية واستخراج الجذور. هذا من شأنه أن يترجم إلى y = f (x). مثال على هذا النوع من الدالة الجبرية يمكن أن يكون كالتالي: y = 3x + 2 أو ما هو نفسه: (x) = 3x + 2 ، حيث يتم التعبير عن "y" فقط من حيث "x".
من ناحية أخرى ، هناك المتغيرات الضمنية ، وهي تلك التي لا يتم فيها التعبير عن المتغير "y" كدالة للمتغير "x" ، لذلك y ≠ f (x). كمثال على هذا النوع من الوظائف ، لدينا: y = 5x3y-2
أمثلة على التوابع الجبرية
يوجد ما لا يقل عن 30 نوعًا من الدوال الجبرية ، ولكن من أبرزها الأمثلة التالية:
1. وظيفة صريحة: ƒ () = الخطيئة
2. دالة ضمنية: yx = 9 × 3 + x-5
3. وظيفة متعددة الحدود:
أ) ثابت: ƒ () = 6
ب) الدرجة الأولى أو الخطية: ƒ () = 3 + 4
ج) الدرجة الثانية أو التربيعية: ƒ () = 2 + 2 + 1 أو (+1) 2
د) الدرجة الثالثة أو المكعبة: ƒ () = 2 3 + 4 2 + 3 +9
4. الوظيفة العقلانية: ƒ
5. الوظيفة المحتملة: ƒ () = - 1
6. دالة جذرية: ƒ () =
7. الوظيفة حسب الأقسام: ƒ () = إذا 0 ≤ ≤ 5
ما هو الجبر بالدور
عندما نتحدث عن ماهية جبر بالدور ، فإنه يشير إلى عمل وضعه عالم الرياضيات والمدرس والكاتب والمحامي أوريليو بالدور (1906-1978) ، والذي نُشر عام 1941. في منشور الأستاذ ، الذي من مواليد هافانا ، كوبا ، تمت مراجعة 5790 تمرينًا ، أي ما يعادل 19 تمرينًا في المتوسط لكل اختبار.
نشر بالدور أعمالًا أخرى ، مثل "Plane and Space Geometry" و "Baldor Trigonometry" و "Baldor Arithmetic" ، ولكن العمل الذي كان له الأثر الأكبر في مجال هذا الفرع هو "Baldor Algebra".
ومع ذلك ، يوصى بهذه المادة بدرجة أكبر للمستوى التعليمي المتوسط (مثل المدرسة الثانوية) ، حيث إنها تكاد تكون مكملة لنصوص أخرى أكثر تقدمًا ووفقًا لهذا المستوى بالنسبة للمستويات العليا (الجامعة).
يمثل الغلاف الشهير لعالم الرياضيات والفلك والجغرافيا المسلم الفارسي الجوارمي (780-846) ارتباكًا بين الطلاب الذين استخدموا هذه الأداة الرياضية الشهيرة ، حيث يُعتقد أن هذه الشخصية تدور حول مؤلفها بالدور.
ينقسم محتوى العمل إلى 39 فصلاً وملحقًا يحتوي على جداول الحسابات وجدول الأشكال الأساسية لتحلل العوامل وجداول الجذور والقوى ؛ وفي نهاية النص توجد إجابات على التمارين.
يوجد في بداية كل فصل رسم إيضاحي يعكس مراجعة تاريخية للمفهوم الذي سيتم تطويره وتوضيحه أدناه ، ويذكر الشخصيات التاريخية البارزة في المجال ، وفقًا للسياق التاريخي الذي توجد فيه مرجعية المفهوم. تتراوح هذه الشخصيات من Pythagoras و Archimedes و Plato و Diophantus و Hypatia و Euclid إلى René Descartes و Isaac Newton و Leonardo Euler و Blas Pascal و Pierre-Simon Laplace و Johann Carl Friedrich Gauss و Max Planck و Albert Einstein.
ما هي شهرة هذا الكتاب بسبب؟
يكمن نجاحه في حقيقة أنه ، بالإضافة إلى كونه عملًا أدبيًا إلزاميًا مشهورًا في المدارس الثانوية بأمريكا اللاتينية ، هو الكتاب الأكثر استشارة وكاملة حول هذا الموضوع ، حيث يحتوي على شرح واضح للمفاهيم ومعادلاتها الجبرية ، وكذلك بيانات تاريخية عن الجوانب. للدراسة ، حيث يتم التعامل مع اللغة الجبرية.
هذا الكتاب هو بداية بامتياز للطلاب في عالم الجبر ، على الرغم من أنه يمثل بالنسبة للبعض مصدرًا للدراسات الملهمة وبالنسبة للآخرين ، فإن الحقيقة هي أنه ببليوغرافيا إلزامية ومثالية لفهم أفضل للمواضيع التي يتم تناولها..
ما هو الجبر البولي
أنشأ عالم الرياضيات الإنجليزي جورج بول (1815-1864) مجموعة من القوانين والقواعد لإجراء العمليات الجبرية ، لدرجة أن جزءًا منها أطلق عليه اسمه. لهذا السبب ، يعتبر عالم الرياضيات والمنطق الإنجليزي أحد رواد علوم الكمبيوتر.
في المشاكل المنطقية والفلسفية ، سمحت القوانين التي طورها بول بتبسيطها في حالتين ، وهما الحالة الحقيقية أو الحالة الخاطئة ، وتم التوصل إلى هذه الاستنتاجات بطريقة رياضية. بعض أنظمة التحكم المطبقة ، مثل الموصلات والمرحلات ، تستخدم مكونات مفتوحة ومغلقة ، والفتح هو الذي يجري والمغلق هو الذي لا يفعل. يُعرف هذا باسم الكل أو لا شيء في الجبر البولي.
مثل هذه الحالات لها تمثيل عددي من 1 و 0 ، حيث 1 يمثل الصحيح و 0 خطأ ، مما يجعل دراستهم أسهل. وفقًا لكل هذا ، يمكن تمثيل أي مكون من أي نوع أو لا شيء بواسطة متغير منطقي ، مما يعني أنه يمكن تقديم القيمة 1 أو 0 ، وتعرف هذه التمثيلات باسم الكود الثنائي.
يجعل الجبر المنطقي من الممكن تبسيط الدوائر المنطقية أو التبديل المنطقي داخل الإلكترونيات الرقمية ؛ من خلاله أيضًا ، يمكن إجراء الحسابات والعمليات المنطقية للدوائر بطريقة أكثر وضوحًا.
يوجد في الجبر المنطقي ثلاثة إجراءات أساسية ، وهي: المنتج المنطقي أو البوابة AND أو وظيفة التقاطع ؛ المجموع المنطقي أو البوابة أو وظيفة الاتحاد ؛ والنفي المنطقي ، وليس البوابة أو الوظيفة التكميلية. هناك أيضًا العديد من الوظائف المساعدة: النفي المنطقي للمنتج ، بوابة NAND ؛ نفي المجموع المنطقي ، بوابة NOR ؛ مجموع المنطق الحصري ، بوابة XOR ؛ ونفي المجموع المنطقي الحصري ، بوابة XNOR.
داخل الجبر البولي ، هناك عدد من القوانين ، من بينها:
- قانون الإلغاء. يسمى أيضًا قانون الإلغاء ، حيث ينص على أنه في بعض التمارين بعد العملية ، سيتم إلغاء المصطلح المستقل ، بحيث (AB) + A = A و (A + B).
- قانون الهوية. أو من هوية العنصرين 0 و 1 ، فإنه يثبت أن المتغير الذي يضاف إليه العنصر الفارغ أو 0 ، سيكون مساويًا لنفس المتغير A + 0 = A بنفس الطريقة كما لو تم ضرب المتغير في 1 ، النتيجة هي نفسها A.1 = a.
- قانون عديم الفاعلية. الدول التي إجراء معين لا يمكن أن يؤديها عدة مرات ونفس النتيجة، بحيث، إذا كان لديك مجموعة A + A = A، وإذا كان هو انفصال AA = A.
- قانون تبادلي. هذا يعني أنه بغض النظر عن الترتيب الذي تكون به المتغيرات ، فإن أ + ب = ب + أ.
- قانون النفي المزدوج. O ارتداد، الدول أنه إذا تم إعطاء إنكار إنكار آخر نتيجة إيجابية، حتى أن (A ') = A.
- نظرية مورغان. هذه تقول أن مجموع كمية من المتغيرات السالبة بشكل عام ستكون مساوية لمنتج كل متغير سالب بشكل مستقل ، لذلك (A + B) '= A'.B' و (AB) '= A' + B '.
- قانون التوزيع. يثبت أنه عند ضم بعض المتغيرات ، والتي سيتم ضربها بمتغير خارجي آخر ، فسيكون نفس ضرب كل متغير مجمّع بواسطة المتغير الخارجي ، على النحو التالي: A (B + C) = AB + AC.
- قانون الامتصاص. تقول أنه إذا كان المتغير A يتضمن متغيرًا B ، فإن المتغير A سوف يعني A و B ، و A سيتم "امتصاصه" بواسطة B.
- قانون الجمعيات. في حالة الفصل أو عند ضم عدة متغيرات ، ستكون النتيجة واحدة بغض النظر عن تجميعها ؛ بحيث في الإضافة A + (B + C) = (A + B) + C (العنصر الأول بالإضافة إلى اقتران الأخيرين ، يساوي ارتباط الأولين بالإضافة إلى الأخير).
